Jag börjar med att visa att för varje kvadrattal n gäller n ≡ 0, 1 (mod 3)
a) "Visa att summan av kvadraterna av tre på varandra följande tal inte kan vara ett kvadrattal."
Svar: Kvadraterna av tre på varandra följande tal kan skrivas som (x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 3x^2 + 2.
Uttrycket 3x^2 + 2 lämnar alltid resttermen 2 vid division med 3, och uppfyller därför inte följande regel för kvadrattal: n ≡ 0 eller 1 (mod 3) (där n är ett kvadrattal).
Då drar jag slutsatsen att uttrycket aldrig kan vara ett kvadrattal.
c) "Visa att summan av kvadraterna av fem på varandra följande tal inte kan vara ett kvadrattal."
Svar: Summan av kvadraterna av fem på varandra följande heltal kan skrivas som uttrycket 5x^2 + 10 där x är det mellersta av de fem talen i talföljden. Vi vet sedan innan att för ett kvadrattal n gäller n ≡ 0, 1 (mod 3).
Det är vid följande steg som någonting går snett för mig:
Vi konstaterar att x ≡ 0, 1, 2 (mod 3) ===> x^2 ≡ 0, 1, 4 ≡ 0, 1 (mod 3).
Om x^2 ≡ 0 (mod 3) ===> 5x^2 + 10 ≡ 2*0 + 0 = 0 (mod 3)
Om x^2 ≡ 1 (mod 3) ===> 5x^2 + 10 ≡ 2*1 + 0 = 2 (mod 3)
Utifrån dessa två resultat vet jag inte riktigt vad jag ska dra för slutsats.
Det verkar som att uttrycket 5x^2 + 10 vid division med 3 alltid ger resttermen 0 eller 2.
Jag tolkar detta som att uttrycket inte alltid är ett kvadrattal. Men detta bevisar väl inte att uttrycket aldrig kan vara ett kvadtrattal? Vi konstaterade ju att ett kvadrattal ger antingen restterm 0 eller 1 vid division med 3. Men uttrycket 5x^2 + 10 kan ju också ge restterm 0 vid division med 3. Hur ska jag bevisa att uttrycket ALDRIG kan vara ett kvadrattal?
När jag försöker lösa uppgift d) på snarlikt sätt stöter jag på samma problematik som i uppgift c).
Jag hoppas att detta var begripligt och det vore trevligt om någon kunde rätta mig om jag gjort fel någonstans och/eller ge tips på hur jag ska fortsätta för att lösa uppgifterna. Tack!