Hej studenter,
Tack för en trevlig och väldigt engagerande seminarieträff här senast. Fortsätt hålla uppe er passion för matematiken. Nästa veckas problem kommer bli roliga eller aa det kanske bara jag tycker.
I fredags hann vi tyvärr inte att diskutera alla problem men jag redovisar nedan några generella lösningsmetoder och lämnar uträkningarna till er :). Till uppgift 1 lämnar jag en exakt lösningsmetod då beviset är relativt kort. För uppgifterna 3 och 4 klistrar jag in länkar där ni finner lösningarna.
1.
Notera att (a^(1/n) + b^(1/n))^n = a + b+ d där d är en summa av positiva tal (Använd binomialsatsen för att utveckla vänsterledet och notera att d är summan av alla positiva tal där vi exkluderat a och b).
Enligt vårt antagande om att sidorna a,b,c utgör sidlängder i triangeln ABC gäller specifikt att a+b >= c. Eftersom även d>=0 får vi att
(a^(1/n) + b^(1/n))^n = a + b+ d >= c.
Eftersom allt är positivt gäller även att
(a^(1/n) + b^(1/n))^n >= c <=> a^(1/n) + b^(1/n) >= c^(1/n). (vi har tagit upphöjt med 1/n i båda leden)
Av ren symmetri kommer även olikheterna
a^(1/n) + c^(1/n) >= b^(1/n)
och
b^(1/n) + c^(1/n) >= a^(1/n)
vara uppfyllda och således utgör a^(1/n), b^(1/n) och c^(1/n) sidlängder i en triangel och vi är klara.
Denna lösningsstrategi har jag stulit från Axel som deltog under seminariet.
- - - - - - - - - - - - - - - -
2.
OBS! Jag skriver nedan "a" istället för alpha och med "ai" menar jag alpha med index i.
Till att börja med är det värt att notera att det faktiskt räcker med att visa resultatet för cosinus och tangens. Ty notera att
sin(a) = cos(90-a)
samt att
cot(a) = 1/tan(a).
och för båda fallen gäller det att om vänsterleden är rationella så måste högerleden vara rationella och därmed vet vi även att cos(90-a) respektive tan(a) måste vara rationella i de båda situationerna. Således följer resultaten för sinus och kotangens direkt från att man vet vilka rationella värden cosinus och tangens kan anta.
Bevis för cosinus:
Sätt cos(a) = p/q för något heltal p och något naturligt tal q där gcd(p,q) =1 (D.v.s. bråket är slutförkortat). Antag även för tillfället att cos(a) != 0 d.v.s. p!= 0.
Låt n vara sådant att na är en heltalsmultipel av 360 grader och definiera nu ai enligt följande
ai = (i/n) *360.
Låt m vara det heltal som ger oss am= a (Följdfråga: Hur vet vi att det existerar?).
och definiera nu mängden Tn enligt
Tn = {Mängd av rationella tal cos(ai) != 0 där vi låter "i" löpa igenom de naturliga talen}.
Visa först att Tn är ändlig och icke-tom. Fullfölj sedan beviset med att plocka ett godtyckligt tal cos(ai) = pi/qi ur Tn och visa att cos(2ai) också måste tillhöra Tn. Analysera sedan täljare och nämnare i uttrycket för cos(2ai) (utveckla med hjälp av formeln för dubbla vinkeln och skriv i termer av pi och qi) m.a.p. gcd operatorn och visa att qi =1 när qi är udda och att qi = 1,2 när qi är jämnt.
När allt det bökiga ovan är gjort så har ni det önskade resultatet för cosinus.
Bevis för tangens:
Antag som innan att tan(a) är rationellt. Eftesom tangens har perioden 180 grader kan vi
inskränka oss till att analysera uttrycket för 0<= a < 180. Vi vet enligt känd sats att
cos(2a) = (1 - tan^2(a)) / (1+ tan^2(a)).
Därför följer det att om tan(a) är rationellt så är även cos(2a) rationellt. Använd nu resultatet vi nyss etablerat för cosinus för att visa att
tan(a) måste anta värderna 0 elller +/- 1.
För mer specifika detaljer kan ni se den fullständiga lösningen från följande artikel:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3. Länk till Bevis:
https://utmanande.math.su.se/pluginfile.php/230/mod_forum/post/377/JahnelCosineRational.pdf
S.4 avsnitt 5 under "Observation".
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Länk till Bevis:
https://utmanande.math.su.se/pluginfile.php/230/mod_forum/post/377/JahnelCosineRational.pdf
S.5 avsnitt 6 jämte "Theorem".
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Jag vet att länkarna ovan ser lite sketchy ut men trust me ni kommer inte få virus på datorn. När ni klistrat in länken borde det laddas ner en PDF till den enhet ni använder. Om ni får tekniska strul
så kan ni höra av er till mig eller Yishao.
Om ni har allmäna frågor kring lösningarna skall ni heller inte tveka att höra av er till oss. Fråga på så mycket ni kan. I nästa
inlägg skriver jag ner problemen till den kommande veckan. Ha det gott och ta hand om er!
Med vänliga hälsningar,
Emil