Nyhetsforum

Digitalträff den 7 mars

Digitalträff den 7 mars

av Yishao Zhou -
Antal svar: 0

Hej!

Tack för alla som deltog i diskussionen igår.  Det var mycket livliga och bra diskussioner.  Jag har lagt upp dem som jag gick genom i mappen och en bok om olikheter i mappen https://utmanande.math.su.se/mod/folder/view.php?id=160 

Nedan är diskussionsproblem för fredagen den 7 mars.  De handlar om ekvationer och delbarhet.

1. Antag att \(p(x)\) är ett heltalspolynom, \(p(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\) och antag att det finns fyra olika heltal \(a,b,c,d\) sådana att \(p(a)=p(b)=p(c)=p(d)=5\).  Visa att det inte finns något heltal \(k\) sådant att \(p(k)=8\).

2. Visa att om \(\sqrt[3]{a}\) är ett rationellt tal så är \(\sqrt[3]{a}\) ett heltal (\(a>0\) är ett heltal).

3. Finn alla positiva heltal \(n\) sådana att \(2^n-1\) är en multipel av \(3\) och \((2^n-1)/3\) är en delare av \(4m^2+1\) för något heltal \(m\). (Utgår)

4. Låt \(a,b,c\) vara positiva reella parametrar.  Lös ekvationen
\(\sqrt{a+bx}+\sqrt{b+cx}+\sqrt{c+ax}=\sqrt{b-ax}+\sqrt{c-bx}+\sqrt{a-cx}\)

5. Finn alla ordnade par av reella tal \((x,y)\) för vilka
\((1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7\)
och
\((1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7\).

6. För vilka positiva tal \(a,b,c\) gäller \(abc=1\) och \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le1\)?

Hälsningar,
Yishao