Hej!
Tack för alla som deltog i diskussionen igår. Det var mycket livliga och bra diskussioner. Jag har lagt upp dem som jag gick genom i mappen och en bok om olikheter i mappen https://utmanande.math.su.se/mod/folder/view.php?id=160
Nedan är diskussionsproblem för fredagen den 7 mars. De handlar om ekvationer och delbarhet.
2. Visa att om \(\sqrt[3]{a}\) är ett rationellt tal så är \(\sqrt[3]{a}\) ett heltal (\(a>0\) är ett heltal).
3. Finn alla positiva heltal \(n\) sådana att \(2^n-1\) är en multipel av \(3\) och \((2^n-1)/3\) är en delare av \(4m^2+1\) för något heltal \(m\). (Utgår)
4. Låt \(a,b,c\) vara positiva reella parametrar. Lös ekvationen
\(\sqrt{a+bx}+\sqrt{b+cx}+\sqrt{c+ax}=\sqrt{b-ax}+\sqrt{c-bx}+\sqrt{a-cx}\)
5. Finn alla ordnade par av reella tal \((x,y)\) för vilka
\((1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7\)
och
\((1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7\).
6. För vilka positiva tal \(a,b,c\) gäller \(abc=1\) och \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le1\)?
Hälsningar,
Yishao