Hej, student i Utmanande matematik!
Hoppas det går bra med kursen för er alla! På fredag kl. 13 är det dags för seminarium igen. Vi kommer då att jobba med övningar kopplade till en blandning av kursens olika moment, så det är fördelaktigt att ha bekantat sig med relevanta kapitel i kursboken Matematiska utmaningar innan dess.
Här kommer fredagens uppgifter:
Problem 1
Talet \(a\) är en siffra mellan \(0\) och \(9\) sådant att \((3(230+a))^2=\overline{49280a}.\) Vad är \(a\)?
Problem 2
Till en middag ska sju personer placeras runt ett bord. Värden vill att var och en av gästerna ska sitta mellan två personer som de känner. Fem av gästerna känner fyra av dem andra gästerna. De återstående två gästerna har vardera tre bekanta bland övriga gäster, varav en av bekantskaperna är med varandra. Är en sådan bordsplacering möjlig?
Problem 3
Sandra och Erik spelar ett spel. Låt \(\theta\) vara en vinkel sådan att \(0^\circ<\theta<180^\circ\), vars värde både Sandra och Erik känner till. Spelet börjar med att Erik klipper ut en triangel i papper, vars mått Erik själv bestämmer. Spelet går sedan ut på att upprepa följande steg:
- Om \(T\) har minst en vinkel som är exakt \(\theta\) så avslutas spelet och Sandra vinner.
- Annars väljer Sandra en punkt \(P\) på triangelns omkrets, som inte sammanfaller med något av triangelns hörn. Sedan klipper hon triangeln från \(P\) till motstående hörn och delar den således i två mindre trianglar.
- Erik slänger en av dem två trianglarna. Den kvarvarande triangeln blir den nya \(T\). Erik och Sandra börjar om på första punkten.
Kan ni hitta något värde på \(\theta\) sådant att Sandra garanterat kan vinna på ett ändligt antal steg, oavsett hur Erik spelar? För vilka reella värden på \(\theta\) gäller detta?
Här är länken till fredagens Zoom: https://stockholmuniversity.zoom.us/j/64370659696
Hör av er om ni har några frågor!
Med vänliga hälsningar,
Nicole Nyberg