Hej!
Här är en summering av dagens
seminarium.
För komplexa tal
\(a,b,c\) har vi identiteter:
\(
\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1
\)
\(
a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(a-b)=(b-a)(c-b)(a-c)
\)
\(
\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1
\)
Placera
\(P\) i origo på det komplexa palnet. Då är hörnen
\(A\),
\(B\) \(C\) representerad av komplexa tal, kalla dem för
\(a,b\) respektive
\(c\). . Tag beloppet på den första olikheten fås
\(
1\le\frac{|b| |c|}{|a-b||a-c|}+\frac{|c||a|}{|b-c| |b-a|}+\frac{|a| |b|}{|c-a| |c-b|}
\)
Ersätt
\(|a|=PA, |b|=PB, |c|=PC\), samt
\(|b-c|=\alpha\),
\(|c-c|=\beta\) ,
\(|a-b|=\gamma\) får vi den önskade olikheten.
Den andra delen i Problem 1 fås genom
\(PB=PCPPA=R\) samt
\( |ABC|=pr=\frac{\alpha\beta\gamma}{4R}\), där
\(2p=\alpha+\beta+\gamma\) (Sats 3.5 i boken).
De övriga två görs på samma sätt med de andra likheterna.
Vi kan fundera på följande problem. Låt
\(ABC\) vara en spetsvinklig triangel och
\(P\) vara en punkt innanför
\(ABC\). Visa att
\(
α PB⋅PC+βPC⋅PA+γPA⋅PB =αβγ.
\)
om och endast om
\(P\) är orto-centrum av
\(ABC\).
Det är lite lite svårare. Men vi kan fortfarande använda komplex tal att bevisa det. Likheten är ekvivalent med
\(
|ab(a− b)| + |bc(b− c)| + |ca(c− a)|= |(a− b)(b− c)(c− a)|.
\)
Låt nu
\(
z_1=\frac{ab}{(a-c)(b-c)}, z_2=\frac{bc}{(b-a)(c-a)},z_3=\frac{ca}{(c-b)(a-b)}
\)
Vi kan visa att
\(
|z_1|+|z_2|+|z_3|=1, z_1+z_2+z_3=1
\)
Ledtråd: Vi ska visa att
\(P\) är orto-centret av
\(ABC\) om och endast om
\(z_1,z_2,z_3\) är reella tal.
Vi såg effektivitet av användandet av komplexa tal. Här får ni ett till problem att fundera på (med kompelxa tal).
En sentida ättling till kapten Kid fann följande text på ett pergament bland sjörövarens
kvarlåtenskap.: "Segla till -- nordlig latitud och -- västlig longitud där du kommer att finna en ö. På ön finner du två ensamma träd, en ek och en tall samt en galge. Starta från galgen och gå mot eken medan du räknar dina steg. Vid eken vänder du åt höger i rät vinkel och fortsätter lika många steg till. Här ska du köra ner en käpp i marken. Gå på samma sätt från galgen till tallen, vänd dig i rät vinkel åt vänster och fortsätt lika långt till i denna riktning. Här ska du köra ner ytterligare en käpp i marken. Skatten ligger precis mitt emellan käpparna."
Då vår skattsökare kom till ön fann han eken och tallen, men galgen hade sedan länge ruttnat bort. Eftersom han inte kunde följa instruktionerna fick han snart ge upp sökandet efter skatten och återvände tomhänt hem. Om han emellertid hade kunnat räkna med komplexa tal hade han kunnat finna skatten.
Lös problem för honom!
Ha en fortsatt trevlig sommar!
Yishao