Nyhetsforum

Digitalträff den 27 juni kl 13:00

Digitalträff den 27 juni kl 13:00

av Yishao Zhou -
Antal svar: 1

Hej!

På fredagen den 27 juni kommer seminariet handlar om några trick för att lösa ekvation/ekvationssytem.  Här är några diskussions problem.

  1. Lös ekvationen \(|x-3|+|x+1|=4\) där \(x\) är reella tal.
  2. För vilka reella tal \(x\) gäller \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x\)?
  3. Finn alla reella lösningar till rotekvationen \(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x} = 1\).
  4. Hitta alla nollskilda reella tal \(x,y,z\) som uppfyller ekvationssystemet. 
    \( \begin{aligned}  (x^2+y^2+xy)(y^2+z^2+yz)(z^2+x^2+zx)=&xyz\\
    (x^4+y^4+x^2y^2)(y^4+z^4+y^2z^2)(z^4+x^4+z^2x^2)&=x^3y^3z^3\end{aligned}\)    .
  5. Bestäm för varje reellt värde på \(a\) alla lösningar till ekvationssystemet
    \(\begin{aligned} ax_1+2x_2-3x_3=&-3\\2x_1-3x_2+ax_3=&2\\-3x_1+ax_2+2x_3=&a\end{aligned}\).
Vi kommer att ses på zoomrummet https://stockholmuniversity.zoom.us/j/64826157501

(Redigerad av Emil Eriksson - tisdag, 24 juni 2025, 17:34)

(Redigerad av Emil Eriksson - tisdag, 24 juni 2025, 17:34)
Som svar till Yishao Zhou

Sv: Digitalträff den 27 juni kl 13:00

av Yishao Zhou -
Hej!

Här är en sammanfattning på diskussionen

1. En standard metod är att dela tallinjen i flera intervall med brytpunkter \(-1\) och \(3\). Därefter löser vi ekvationen på varje intervall.
En annan metod är att rita upp grafen \(y=f(x)\) där \(f\) är vänsterledet i ekvationen. Då ser vi direkt svaret.
En tredje möjlighet är tolkning av \(|x-3|\) och \(|x+1|\). De är avståndet mellan \(x\) och \(3\) respektive avståndet mellan \(x\) och \(-1\). Då ser vi att avståndet summan av avstånden är större än 4 om \(x\) ligger utanför intervallet \([-1,3]\).

2. Låt \(u=\sqrt{x-\frac{1}{x}}\) och \(v=\sqrt{1-\frac{1}{x}}\). Då blir \(u+v=x\). Beräkna \(u-v\) med att förlänga den med \((u+v)/(u+v)\) därefter konjugatregeln: \(u-v=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}=v^2\). Det ger \(2u=1+u^2\), \(2v=x-v^2\). Den första ekvationen ger \(u=1\) och den andra ger \(v^2+v-1=0\), som har lösning \(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) (den andra förkastas eftersom \(v\ge0\) enligt definitionen). Därav \(x=u+v=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

3. En möjlighet är att flyta det ena rotuttrycket till högerledet och kvadrera två gånger för att lösa en andragradspolynomevkation. Kolla om rötterna är äkta. I det här problemet saknar rotekvationen rötter.
Men vi diskuterade också att man inte behöver göra dessa beräkningar. Funktionen \(f(x)\) i VL är jämn så vi behöver bara studera om \(f(x)=0\) har lösning för \(0\le x\le 2\). Men \(f(x)\ge 0+\sqrt{x+2}\ge \sqrt{2}>1\). Så det finns ingen lösning.

4. Observera att \(x^4+y^4+x^2y^2=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)\). På samma sätt kan vi få liknande för de andra två faktorerna i den andra ekvationen. Tillsammans med den första ekvationen får vi
\(xyz(x^2+y^2-xy)(y^2+z^2-yz)(z^2+x^2-zx)=x^3y^3z^3\) eller \((x^2+y^2-xy)(y^2+z^2-yz)(z^2+x^2-zx)=x^2y^2z^2\)
eftersom vi söker nollskilda lösningar. AM-GM olikheten ger \(x^2+y^2-xy\ge2xy-xy=xy\), \(y^2+z^2-yz\ge yz\) och \(z^2+x^2-zx\ge zx\). Så västerledet är \(\ge x^2y^2z^2\) som är högerledet. Men vi vill ha likhet. Vi vet att AM-GM olikheten blir likhet om \(x=y\), \(y=z\) och \(z=x\), vilka är \(x=y=z\). Insättningen av det i den första ekvationen (eller den andra) ger \(27x^3=1\). Det finns bara en reell rot \(x=1/3\).

5. Ledvisaddition ger \(x_1+x_2+x_3=1\) då \(a-1\neq0\). Sedan kan vi elimiera så att lösa ut den entydia lösningen. Då \(a=1\) ska vi undersökas separat.

Nästa seminarietillfälle är på tisdag. Emil kommer att leda det och förhoppningsvi får ni dikussionfrågor i kväll.

Hälsningar,
Yishao