Hej!
Här är en sammanfattning på diskussionen
1. En standard metod är att dela tallinjen i flera intervall med brytpunkter \(-1\) och \(3\). Därefter löser vi ekvationen på varje intervall.
En annan metod är att rita upp grafen \(y=f(x)\) där \(f\) är vänsterledet i ekvationen. Då ser vi direkt svaret.
En tredje möjlighet är tolkning av \(|x-3|\) och \(|x+1|\). De är avståndet mellan \(x\) och \(3\) respektive avståndet mellan \(x\) och \(-1\). Då ser vi att avståndet summan av avstånden är större än 4 om \(x\) ligger utanför intervallet \([-1,3]\).
2. Låt \(u=\sqrt{x-\frac{1}{x}}\) och \(v=\sqrt{1-\frac{1}{x}}\). Då blir \(u+v=x\). Beräkna \(u-v\) med att förlänga den med \((u+v)/(u+v)\) därefter konjugatregeln: \(u-v=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}=v^2\). Det ger \(2u=1+u^2\), \(2v=x-v^2\). Den första ekvationen ger \(u=1\) och den andra ger \(v^2+v-1=0\), som har lösning \(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) (den andra förkastas eftersom \(v\ge0\) enligt definitionen). Därav \(x=u+v=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
3. En möjlighet är att flyta det ena rotuttrycket till högerledet och kvadrera två gånger för att lösa en andragradspolynomevkation. Kolla om rötterna är äkta. I det här problemet saknar rotekvationen rötter.
Men vi diskuterade också att man inte behöver göra dessa beräkningar. Funktionen \(f(x)\) i VL är jämn så vi behöver bara studera om \(f(x)=0\) har lösning för \(0\le x\le 2\). Men \(f(x)\ge 0+\sqrt{x+2}\ge \sqrt{2}>1\). Så det finns ingen lösning.
4. Observera att \(x^4+y^4+x^2y^2=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)\). På samma sätt kan vi få liknande för de andra två faktorerna i den andra ekvationen. Tillsammans med den första ekvationen får vi
\(xyz(x^2+y^2-xy)(y^2+z^2-yz)(z^2+x^2-zx)=x^3y^3z^3\) eller \((x^2+y^2-xy)(y^2+z^2-yz)(z^2+x^2-zx)=x^2y^2z^2\)
eftersom vi söker nollskilda lösningar. AM-GM olikheten ger \(x^2+y^2-xy\ge2xy-xy=xy\), \(y^2+z^2-yz\ge yz\) och \(z^2+x^2-zx\ge zx\). Så västerledet är \(\ge x^2y^2z^2\) som är högerledet. Men vi vill ha likhet. Vi vet att AM-GM olikheten blir likhet om \(x=y\), \(y=z\) och \(z=x\), vilka är \(x=y=z\). Insättningen av det i den första ekvationen (eller den andra) ger \(27x^3=1\). Det finns bara en reell rot \(x=1/3\).
5. Ledvisaddition ger \(x_1+x_2+x_3=1\) då \(a-1\neq0\). Sedan kan vi elimiera så att lösa ut den entydia lösningen. Då \(a=1\) ska vi undersökas separat.
Här är en sammanfattning på diskussionen
1. En standard metod är att dela tallinjen i flera intervall med brytpunkter \(-1\) och \(3\). Därefter löser vi ekvationen på varje intervall.
En annan metod är att rita upp grafen \(y=f(x)\) där \(f\) är vänsterledet i ekvationen. Då ser vi direkt svaret.
En tredje möjlighet är tolkning av \(|x-3|\) och \(|x+1|\). De är avståndet mellan \(x\) och \(3\) respektive avståndet mellan \(x\) och \(-1\). Då ser vi att avståndet summan av avstånden är större än 4 om \(x\) ligger utanför intervallet \([-1,3]\).
2. Låt \(u=\sqrt{x-\frac{1}{x}}\) och \(v=\sqrt{1-\frac{1}{x}}\). Då blir \(u+v=x\). Beräkna \(u-v\) med att förlänga den med \((u+v)/(u+v)\) därefter konjugatregeln: \(u-v=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}=v^2\). Det ger \(2u=1+u^2\), \(2v=x-v^2\). Den första ekvationen ger \(u=1\) och den andra ger \(v^2+v-1=0\), som har lösning \(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) (den andra förkastas eftersom \(v\ge0\) enligt definitionen). Därav \(x=u+v=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
3. En möjlighet är att flyta det ena rotuttrycket till högerledet och kvadrera två gånger för att lösa en andragradspolynomevkation. Kolla om rötterna är äkta. I det här problemet saknar rotekvationen rötter.
Men vi diskuterade också att man inte behöver göra dessa beräkningar. Funktionen \(f(x)\) i VL är jämn så vi behöver bara studera om \(f(x)=0\) har lösning för \(0\le x\le 2\). Men \(f(x)\ge 0+\sqrt{x+2}\ge \sqrt{2}>1\). Så det finns ingen lösning.
4. Observera att \(x^4+y^4+x^2y^2=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)\). På samma sätt kan vi få liknande för de andra två faktorerna i den andra ekvationen. Tillsammans med den första ekvationen får vi
\(xyz(x^2+y^2-xy)(y^2+z^2-yz)(z^2+x^2-zx)=x^3y^3z^3\) eller \((x^2+y^2-xy)(y^2+z^2-yz)(z^2+x^2-zx)=x^2y^2z^2\)
eftersom vi söker nollskilda lösningar. AM-GM olikheten ger \(x^2+y^2-xy\ge2xy-xy=xy\), \(y^2+z^2-yz\ge yz\) och \(z^2+x^2-zx\ge zx\). Så västerledet är \(\ge x^2y^2z^2\) som är högerledet. Men vi vill ha likhet. Vi vet att AM-GM olikheten blir likhet om \(x=y\), \(y=z\) och \(z=x\), vilka är \(x=y=z\). Insättningen av det i den första ekvationen (eller den andra) ger \(27x^3=1\). Det finns bara en reell rot \(x=1/3\).
5. Ledvisaddition ger \(x_1+x_2+x_3=1\) då \(a-1\neq0\). Sedan kan vi elimiera så att lösa ut den entydia lösningen. Då \(a=1\) ska vi undersökas separat.
Nästa seminarietillfälle är på tisdag. Emil kommer att leda det och förhoppningsvi får ni dikussionfrågor i kväll.
Hälsningar,
Yishao
Hälsningar,
Yishao