Uppgift 1 (Grafteori) :
- - - - - - - - - - - - - - -
Betrakta den oriktade grafen G = (V,E) vars hörnmängd "V" definieras enligt följande
V := Mängden tretupler v = (x,y,z) där 0<=x , y, z <= 3 och x,y,z alla heltal.
Låt e = {v0 , v1} vara en kant i E om det gäller att v0 och v1 skiljer sig på exakt en koordinat.
T.ex. är hörnet (0,0,0) granne med (1,0,0) (0,1,0) och (0,0,1) medans (0,1,0) inte är granne med (1,1,1).
a) Är G hamiltonsk?
b) Är G hamiltonsk om 0 <= x,y,z <= 2?
Uppgift 2 (Induktion):
- - - - - - - - - - - - - - - -
Visa att för varje heltal n>=1 och varje reellt tal x !=1 gäller det att
sum_i=0 to n x^i = (x^(n+1) -1) /(x-1)
d.v.s. bevisa formeln för en geometrisk summa.
(med "!=" menar jag "inte lika med" och med parantes efter "^" avser jag exponenten.)
Uppgift 3 (Kombinatorik) :
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Låt x1, x2, x3 ,x4 vara heltal >=0.
a) Bestäm antalet lösningar till ekvationen
x1 + x2 + x3 + x4 =520.
b) Vad blir svaret om vi kräver att x1 >=5 , x2 >=10 , x3 >=15 och x4 >=20
(Tips: Visa att antalet heltalslösningar till en evkation av typen x1 + ... + xk = n med xi>=0 ges av
C(n + (k-1) , k-1) . Med C(x,y) menar jag "x välj y".)
Hör gärna av er om ni upptäcker typos eller om ni behöver få något förtydligat.
Ha det gott och ta hand om er!
Med vänliga hälsningar,
Emil