Utmanande matematik

Hej!

Några av lösningsförslag (för fredagen den 28/3) finns på https://utmanande.math.su.se/mod/folder/view.php?id=160

Vi ses den 4 april som planerad på kl 17 på zoomrum https://stockholmuniversity.zoom.us/j/64826157501. Meddela gärna mig om du vill komma annars ställer jag in om jag inte får något på torsdag kväll. 

Till den kommande träffen diskuterar vi ämnen om olikheter i kapitel 13&14 eftersom många tycker att de är lite svårare. Som vanligt föreslår jag några problem som underlag för diskussionen.

1. Antag att \(a,b,c>0\).  Visa att det är möjligt att konstruera en triangel med sidlängder \(a,b,c\) om och endast om \(pa^2+qb^2>pqc^2\) for godtyckliga \(p,q\) med \(p+q=1\).
2. Ge ett geometriskt och visualiserat bevis på HM-AM-GM:  \(\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\le \sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\), för \(x,y>0\).
3. Bestäm maximalvärdet till  \(x(1− x^3)\) för \(0 \le  x \le 1\).
4. Visa att om \(a,b,c\) är positiva tal gäller olikheten \(\sqrt{a^2+ac+c^2}\le\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\).
5. Sidlängderna till en  hexagon \(ABCDEF\)  uppfyller \(AB= BC\), \(CD=DE\) och \(EF= FA\). Visa att
   \(\frac{BC}{BE} +\frac{DE}{DA}+ \frac{FA}{FC} \ge\frac{3}{2}\).