Hej!
Först vill jag tacka vår administratör för att ha gjort en smidig uppdatering på vår användarekonton så att inlägg här når till dem som är intresserad av att få. Nästa vill jag tacka alla som på ett eller annat sätt drabbades lite störning vid uppdaterings tillfälle för att ha tålamod och förståelse. Och jag vill också be om förståelse för detta sena inlägg.
Nu kommer lite diskussionsämnen på olikheter till nästa träff. Teorin är från kapitel 13&14.
1. Avgör vart och ett av följande påstående är sant och argumentera dina slutsatser.
(a) Om \(0 < b \le a\), då \(\frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{a}\le \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\le \frac{1}{8}\frac{(a-b)^2}{b}\).
(b) Låt \(a_1,...,a_n\) vara positiva tal med egenskapen \(a_1+a_2+\cdots+a_n<1\). Då gäller att
\(\frac{a_1a_2\cdots a_n[1-(a_1+a_2+\cdots+a_n)]}{(a_1+a_2+\cdots+a_n)(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n)]}\le \frac{1}{n^{n+1}}\).
(c) Låt \(a,b,c\) vara positiva tal sådana att \(abc=1\). Då har vi
\( \frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\ge \frac{3}{4}\).
(d) Låt \(a,b\) och \(c\) vara sidlängder av en triangel. Då
\(\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|<\frac{1}{8}\).
(e) Låt \(A,B\) och \(C\) vara storlekar på vinklarna till en triangel \(ABC\). Då har vi
\(\left(\sin\frac{A}{2} \right)\left(\sin\frac{B}{2} \right)\left(\sin\frac{C}{2} \right)\le \frac{1}{8}\).
2. En välkänd och användbar olikhet är AM-GM. Se boken. Hur många metoder har du att bevisa den?
3. En funktion \(f:[a,b]\to {\mathbb R}\) kallas konvex på intervallet \(I=[a,b]\) om för alla \(t\in[0,1]\) och för alla \(x,y\in[a,b]\) gäller
\(f(ty+(1-t)x)\le t f(y)+(1-t)f(x).\)
Funktionen \(f\) kallas konkav om \(-f\) är konvex.
Ange en geometrisk tolkning av den ovanstående olikheten och begreppet konvexitet (och (konkavitet).
Förhoppningsvis hinner vi lite till användningen av konvexitet i beviset av några kända olikheter.
Hälsningar,
Yishao