Tjena gänget!
Här kommer tre Kombinatorik uppgifter att klura på inför seminariet den 24/6! Det gör absolut ingenting om man inte kan lösa uppgifterna men däremot så ställs det krav på engagemang under seminarierna för att man skall kunna bli godkänd. Om man inte känner sig bekväm med att prata så kan man skriva i chatten istället!
Uppgift 1:
- - - - - - - -
En grupp beståendes av \(100\) personer skall delas upp i två mindre grupper av storlekar
\(x\) och \(100-x\) där \(1 \leq x \leq 99\). På hur många sätta kan man göra detta om
a) vi tilldelar grupperna namnen A och B?
b) det inte finns något namn på grupperna?
Ange svaren som en summa (den behöver alltså inte räknas ut).
Uppgift 2:
- - - - - - - -
Bestäm antalet sätt att välja \(5\) tal från de första \(18\) naturliga talen (\(1, 2, 3, ... ,18\)) med det
tillagda villkoret att varje par av de \(5\) valda talen skiljer sig med minst \(2\).
D.v.s. om vi t.ex. väljer talen \(x_{1} , ... , x_{5}\) så måste \(|x_{j} - x_{i}| \geq 2\) för alla
\(i \neq j\).
Uppgift 3:
- - - - - - - -
Bevisa att om \(x_{1} , ... , x_{n}\) och \(k\) är icke-negativa heltal (\(\geq 0\)) så ges antalet lösningar till ekvationen
\(x_{1} + ... + x_{n} = k\)
av
\(\binom{k +(n-1)}{n-1}\).
Med andra ord, bevisa "Stars and bars" teoremet.
Länk till zoom-mötet:
https://stockholmuniversity.zoom.us/j/64826157501
Om ni har frågor eller funderingar är det bara att maila oss via
utmanande-matematik@math.su.se.
Allt gott och ta hand om er!
Med vänliga hälsningar,
Emil Eriksson