Hej allesammns,
Trevlig träff förra gången! Nedan följer några lösningsförslag till frågorna från förra seminariet.
Uppgift 1:
- - - - - - - -
Sätt \(x = (x_{1} , ... ,x_{n})\) och \(y = (1, ..., 1)\). Notera att \(y\) är en vektor med \(n\) styckna \(1\):or.
En direkt tillämpnning av Cauchy Schwartz olikhet ger nu det önskade resultatet.
Uppgift 2:
- - - - - - - -
Definiera \(M_{y_{i}}\) för varje \(1 \leq i \leq m\) till att vara mängden av element \(x_{j} \in X\) som avbildas på \(y_{i} \in M\). Med andra ord
\(M_{y_{i}} := \{x_{j} \in X: f(x_{j}) = y_{i} \}\)
För varje surjektiv funktion \(f: X \rightarrow Y\) kommer uppdelningen \(M_{y_{1}} , ... , M_{y_{m}}\) vara sådan att varje \(M_{y_{i}}\) är icke-tom samt att alla dessa mängder är parvis disjunkta (de delar inga element). Unionen av mängderna kommer även ge oss tillbaka \(X\). Det följer därför att varje surjektiv funktion inducerar en partition av en mängd med \(n\) element i \(m\) delar. Man skulle nu kunna tänka sig att svaret ges av \(S(n, m)\) men det finns en subtil skillnad mellan att räkna antalet partioner och antalet surjektiva funktioner. När vi räknar antalet partioner finns det ingen skillnad mellan de olika delarna (de är icke namn-givna) men däremot är de namgivna i fallet då vi räknar antalet surjektiva funktioner. T.ex.
Om \(X ={1, 2 , 3 , 4}\) och \( Y = {A, B}\) så skulle uppdelningarna
\(M_{A} = \{1 , 2, 3\} , M_{B} = \{4\}\)
och
\(M_{A} = \{4\} , M_{B} = \{1, 2, 3\}\)
motsvara olika surjektiva funktioner men en och samma partition.
Däremot kan vi säga att för varje partition finns det \(m!\) motsvarande surjektiva funktioner och därför ges svaret av \(m! \cdot S(n,m)\).
Uppgift 3:
- - - - - - - -
Varje heltal \(x\) kan skrivas på formen
\(x = \sum_{i=0}^{n} a_{i}\cdot 10^{i}\)
där \(\{a_{i}\}_{i=0}^{n}\) motsvarar heltalskoefficienter.
Vi noterar nu att
\(x = \sum_{i=0}^{n} a_{i}\cdot 10^{i} \equiv_{3} \sum_{i=0}^{n} a_{i}\).
D.v.s. \(x\) är kongruent med dess siffersumma mod \(3\) och det önskade resultatet följer nu direkt.
Om ni har frågor eller andra funderingar så är det bara att höra av er till mig via "emil.eriksson@math.su.se".
Allt gott och ta hand om er!
Med Vänliga Hälsningar,
Emil