Hej allesammans,
Här kommer veckans seminarieuppgifter! :)
Uppgift 1 (Olikheter):
- - - - - - - - - - - - - - -
Din kompis (Jag) säger till dig att om du tar summan av kvadraterna av \(n\) reella tal och multiplicerar denna summa med \(n\) så kommer det var större eller lika med kvadraten av summan av de \(n\) talen. Stämmer detta? Bevisa eller motbevisa.
Uppgift 2 (Kombinatorik):
- - - - - - - - - - - - - - - - -
Tag några heltal \(n \ge 0\) och \(m \ge 0\) där \(n \ge m\) och betrakta mängderna \(X = \{x_{1} , ... , x_{n}\}\) samt \(Y = \{y_{1}, ... , y_{m}\}\). En surjektiv funktion från mängden \(X\) till \(Y\) är en funktion \(f: X \rightarrow Y\) som uppfyller
\(\forall y_{i} \in Y\) så \(\exists x_{j} \in X\) sådant att \(f(x_{j}) = y_{i}\).
Ge en formell för antalet surjektiva funktioner från \(X\) till \(Y\).
Tips: För att lösa denna uppgift är det bra att känna till definitionen av en partition. En partition av en mängd \(X\) i \(k\) delar är en uppdelning av \(X\) i \(k\) disjunkta, onamngivna, icke-tomma delmängder och unionen av dessa delmängder ger oss tillbaka \(X\). T.ex. om \(X = \{1,2,3,4\}\) så utgör \(\{1,2, 3\}\) och \(\{4\}\) en partition av \(X\) i \(2\) delar. För denna uppgift kan ni utnyttja att antalet partitioner av en mängd \(X\) med \(|X| = n\) i \(m\) delar ges av sterlingtalet \(S(n , m)\).
Uppgift 3 (moduloräkning):
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Visa att ett heltal är delbart med \(3\) \(\iff\) dess siffersumma är delbar med \(3\).
Hör av er till mig (via emil.eriksson@math.su.se) vid eventuella frågor eller funderingar. Allt gott och ta hand om er!
Zoom-länk: https://stockholmuniversity.zoom.us/j/64826157501
Med vänliga hälsningar,
Emil