Hej allesammans,
Riktigt nice träff förra gången. Nedan följer lösningsförslag till problemen. Återkommer med problem för nästa gång!
Uppgift 1:
- - - - - - - -
Vi introducerar mängden S= {g1, ... ,g20 , g1 + 9 , ... , g20 + 9} där varje gi representerar det totala antalet mål från match 1 till och med match 20. Ett element x ur S måste satisfiera följande olikhet 1<=x <= 39 ty spelaren går aldrig mållös under någon match och det totala antalet mål som spelaren gjort är 30. Notera dock att |S| = 40 (med |S| menas storleken/kardinaliteten på mängden) varför det enligt lådprincipen följer att det måste existera minst två element i S med samma värde. Kalla dessa element för x och y. Eftersom gi >= 0 för alla i kan det omöjligt vara så att x = gj och y = gi . Ty om vi utan inskräkning antar att j >i så skulle x =y medföra att spelaren behövt gått mållös från match i+1 upptill match j, en motsägelse. Uppenbarligen kan då fallet x = gi + 9 och y = gj + 9 heller ej inträffa. Vi drar därför slutsatsen att den enda möjligheten är att x = gj och y = gi + 9. Från vilket det följer att
x = y <=> gj = gi + 9 <=> gj - gi = 9
och således har spelaren gjort totalt 9 mål från match i+1 till och med match j och vi är klara.
Uppgift 2:
- - - - - - - -
(=>) Om gcd(x, p^m) != 1 är detta samma sak som att säga att det existerar ett positivt heltal d sådant att
d|x och d|p^m men d >1. Om d|p^m så vet vi att d = p^i för något heltal 1<=i <= m. Speciellt gäller då att p måste dela x vilket är ekvivalent med att säga att x = k*p för något positivt heltal k och således är denna riktning bevisad.
(<=) Om x = k*p så gäller att p|x och uppenbarligen gäller också p|p^m. Eftersom p är ett primtal måste p > 1 och från detta följer att gcd(x, p^m) >= p > 1 och vi är klara.
Uppgift 3:
- - - - - - - -
Inför variabelbytet y4 = x4 - 3 och y5 = x5 - 3. Ekvationen kan då skrivas om som
x1 + x2 + x3 + y4 +y5 = 294 där xi >= 0 , yi>=0 , x1+x2 = 100 och x2 + x3 = 60.
Från det sista vilkoret följer att x2 kan väljas på 61 olika sätt (0<=x2 <= 60) och för varje sådant unikt val bestäms värderna för x1, x2 , x3 och därmed även summan x1 + x2 +x3. För varje val av x2 behöver vi räkna antalet heltalslösningar till ekvationen
y4 + y5 = 294 - (x1+ x2 + x3) = 294 - ((100 -x2) + x2 + (60 -x2)) = 294 - 160 + x2 = 134 + x2
som ges av
C(134 + x2 + 1 , 1) = 134 + x2 + 1 = 135 + x2 .
Från detta följer det att antalet heltalslösningar till ursprungsekvationen ges av den aritmetiska summan
sum_x2 = 0^x2=60 135 + x2 = 10065.
OBS! Denna gång har jag inte skrivit ut lösningarna i latex men om vi ni har svårt att förstå vad som står så kan ni maila mig ("emil.eriksson@math.su.se") så skickar jag en pdf i latex format. Ha det gott och ta hand om er! Återkommer med nästa veckas seminarieuppgifter imorgon :)
Med vänliga hälsningar,
Emil