Nedan följer uppgifterna för nu på fredag!
Uppgift 1 (Kombinatorik - Trick):
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Antag att en skicklig fotbollsspelare har gjort 30 mål på 20 matcher i följd och att spelaren aldrig var mållös i någon av matcherna. Visa att spelaren måste ha gjort exakt 9 mål i någon sekvens av matcher. (OBS! Om vi låter gi vara antalet mål som spelaren gjort från match 1 till och med match i så vill vi alltså visa att det finns något j>i sådant att g_{j} - g_{i} = 9, ty detta skulle medföra att matcherna: i+1 , i+2 , ... , j är en sådan sekvens.
Tips: Introducera mängden
S = {g1 , …. g20 , g1 + 9 , … g20 + 9}
Och tillämpa lådprincipen.
Uppgift 2 (Talteori)
- - - - - - - - - - - - -
Antag att "p" är ett primtal och "m" ett positivt heltal.
Visa att varje heltal 1<=x <= p^m är ej relativ prima med p^m <=> x är en multipel av p.
(Kom ihåg att symbolen "<=>" betyder om och endast om. Det är därför viktigt att visa båda riktningar.)
Tips: Bakåtriktningen är nog inte så svår att inse. För framåtriktningen kan det vara bra att inse att
om vi har primtalsfaktoriserat ett tal y på formen
y = p1^x1 * … * pn^xn
så måste alla delare till y vara på formen
y = p1 ^ i1 * … * pn^in
där 0<=i1 <= x1 , … , 0 <= in <= xn
Uppgift 3 (heltalsekvation med extra vilkor)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Hur många lösningar finns det till följande heltalsekvation
x1 +x 2 +x3 +x4 +x5 = 300 där
x1 , x2 ,x3 >= 0 och x4,x5 >= 3 och (x1 + x2 = 100 samt x2 + x3 = 60)?
Tips: Inför först variabelbyten y4 = x4 - 3 och y5 = x5 - 3. Att hantera det två andra bivilkoren är lite klurigare men notera att så fort vi har bestämt ett värde på x2 så bestäms x1 och x3 automatiskt.
Som vanligt är det bara att kontakta mig vid eventuella frågor. Allt gott och ta hand om er!
Med vänliga hälsningar,