Hej!
Här
är en mycket kort sammanfattning av gårdagens diskussion. Det blir
kort på grund av önskemål från deltagare att få göra det själva.
1. Det finns två varianter (minst?). En algebraisk en geometrisk (kanske tillsammans med trigonometri)
2. induktionsbevis
3. Betrakta ekvationen som en kvadratisk ekvation för a . Lös ut a sedan x.
4.
Sätt VL=x och y^3=2. Då x^3=y-1. Nyckeln här är att skriva om 2=1+1.
Då blir 1=(y-1)(y^2+y+1) och vidare y^2+y+1=(y+1)^3/3. Svaret är
a=4/9, b=-2/9, c=1/9.
5. del 1: flytta x till VL, mulitplicera n/n
inom summan. Använd x/(n(x+n1))=1/n-1(x+n) så leder det till
teleskopsumman. del 2: låt VL=f(x). Då har vi f(x)->0 då x går mot
oändligheten genom att visa f(x)<1/x. Så kan man skriva f(x) som
teleskopserien med f(x+k-1)-f(x+k). Använda samma uppdelning som del 1
för att få den önskad likheten.
Till den 25 april ska vi diskutera följande problem:
- Låt \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) vara sidlängder av triangeln ABC. Visa att \(\sqrt[n]{a}\), \(\sqrt[n]{b}\), \(\sqrt[n]{c}\) är också sidlängder av en triangel.
- Om \(\alpha=r360^\circ\) för något rationellt tal \(r\). Visa att de enda rationella värdena för trigonometriska funktioner i \(\alpha\) är följande:
\(\cos\alpha,\sin\alpha=0,\pm\frac12,\pm1\)
\(\tan\alpha, \cot\alpha=0,\pm1\)
- Låt \(r\) vara ett rationellt tal. Visa att \(\cos(r \pi) \in\lbrace \pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pm1\pm\sqrt{5}}{4}\rbrace\), om \(\cos(r\pi)\) är kvadratiska irrationellt.
- Låt \(\alpha=\frac{m}{n}360^\circ\) vara en rationell vinkel. Antag att \(m,n\in{\mathbb Z}\),\(n\neq0\) är koprima. Visa att
i) \(\cos\alpha\) är ett rationell tal om och endast om \(\varphi(n)\le 2\), dvs. för \(n=1,2,3,4,\) och \(6\).
ii) \(\cos\alpha\) är ett algebriaskt tal av grad \(d>1\) om och endast om \(\varphi(n)=2d\).
Här \(\varphi\) är Eulers phi-funktion.
Yishao