Utmanande matematik

Hej!

Jag försökte typsätta mina förslag på diskussionen i fredags.  Det ligger nu under  finns på https://utmanande.math.su.se/mod/folder/view.php?id=160Hej

Vi ses den den april som planerad samma tid och plats  i zoomrum https://stockholmuniversity.zoom.us/j/64826157501. Meddela gärna mig om du vill komma annars ställer jag in om jag inte får något på torsdag kväll. 

Till fredagen den 11 april diskuterar vi blandade ämnen för att träna vår förmåga eller testa vår mogenheten i material. 

1. De positiva talen \(a,b,c,d\) uppfyller ekvationen \(a^2+(c+d)^2=b^2+c^2=(a+b)^2+d^2\).  Visa att \(bc=a(c+d)+(a+b)d\).
2. Låt \(a_n,b_n\) vara heltal sådana att \(a_n+b_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^n\) för all heltal \(n\ge1\). Visa att sgd\((a_n,b_n)=1\) för alla heltal \(n\ge1\).
3. Låt \(\frac34<a<1\).  Visa att ekvationen \(x^3(x+1)=(x+a)(2x+a)\) har fyra olika reella lösningar och bestäm dem explicit.
4. Bestäm rationella tal \(a,b,c\) sådana att \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)
5. Låt \(x\) vara ett positivt reeellt tal. 
   

• Visa att \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(n-1)!}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}=\frac{1}{x}\)
• Visa att \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(n-1)!}{n(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(x+k)^2}\)